Soal dan Pembahasan – Regresi Linear Sederhana

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan massa gula (dalam gram), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan suhu (dalam derajat Celsius).
Jawaban a)
Diagram pencar dari data di atas dapat dilihat pada gambar berikut.
Jawaban b)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Gula).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 16,\!5 & \sum y = 100,\!4 \\ \sum x^2 = 25,\!85 & \sum y^2 = 923,\!58 \\ \sum xy = 152,\!59 & n = 11. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 152,\!59-\dfrac{16,\!5 \cdot 100,\!4}{11} = 1,\!99 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} = 25,\!85-\dfrac{(16,\!5)^2}{11} = 1,\!1 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{1,\!99}{1,\!1} \approx 1,\!8091 \\ b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{100,\!4-1,\!8091 \cdot 16,\!5}{11} \\ & \approx 6,\!4136. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = 6,\!4136 + 1,\!8091x}.$
Jawaban c)
Nilai $\text{JK}_{YY}$ diperlukan sehingga perlu dicari terlebih dahulu.
$$\text{JK}_{YY} = \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n} = 923,\!58-\dfrac{(100,\!4)^2}{11} \approx 7,\!2018.$$Dengan demikian, koefisien korelasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} r_{XY} & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\sqrt{\text{JK}_{XX} \cdot \text{JK}_{YY}}} \\ & = \dfrac{1,\!99}{\sqrt{1,\!1 \cdot 7,\!2018}} \\ & \approx 0,\!7070. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien korelasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa hubungan variabel prediktor $X$ dan variabel respons $Y$ cukup erat dan bersifat searah.
Jawaban d)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} R^2 & = {b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{YY}} \\ & =\dfrac{1,\!8091 \cdot 1,\!99}{7,\!2018} \\ &\approx 0,\!4999. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $49,\!99\%.$  
Jawaban e)
Untuk $x = 1,\!75,$ diperoleh nilai $$\hat{y} = 6,\!4136 + 1,\!8091 \cdot 1,\!75 \approx  9,\!5795.$$Jadi, taksiran massa gula yang terbentuk pada suhu $1,\!75^\circ\text{C}$ adalah $\boxed{9,\!5795}$ gram.

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan skor keterampilan berpikir kritis, sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan nilai ujian trigonometri siswa.
Jawaban a)
Diagram pencar dari data di atas dapat dilihat pada gambar berikut.
Jawaban b)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel

(lihat sheet Berpikir Kritis).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 61 & \sum y = 52 \\ \sum x^2 = 403 & \sum y^2 = 298 \\ \sum xy = 345 & n = 10. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 345-\dfrac{61 \cdot 52}{10} = 27,\!8 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} =403-\dfrac{(61)^2}{10} = 30,\!9 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{27,\!8}{30,\!9} \\ & \approx 0,\!8997 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{52-0,\!8997 \cdot 61}{10} \\ & = -0,\!2882. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = -0,\!2882 + 0,\!8997x}.$
Jawaban c)
Diketahui $b_1 = 0,\!8997,$ $B_1 = 0,$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} &= \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n}  = 298-\dfrac{(52)^2}{10} = 27,\!6 \\ s_e & = \sqrt{\dfrac{JK_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{27,\!6-0,\!8997 \cdot 27,\!8}{10-2}} \\ & \approx 0,\!5088. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus uji koefisien regresi untuk $\beta_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\beta_1.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \beta_1 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \beta_1 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{b_1-B_1}{s_e/\sqrt{\text{JK}_{XX}}} = \dfrac{0,\!8997-0}{0,\!5088/\sqrt{30,\!9}} \approx 9,\!829.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2=10-2=8$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025;~ 8} \approx 2,\!306.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!306$ dan $t > 2,\!306.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 9,\!829 > 2,\!306 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, koefisien dari variabel prediktor tidak dapat diabaikan.
Jawaban d)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} R^2 & = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{YY}} \\ & = \dfrac{0,\!8997 \cdot 27,\!8}{27,\!6} \\ & \approx 0,\!9062. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $90,\!62\%.$
Jawaban e)
Untuk $x = 6,\!5,$ diperoleh nilai $$\hat{y} =-0,\!2882 + 0,\!8997 \cdot 6,\!5 \approx  5,\!5599.$$Jadi, taksiran ujian trigonometri yang didapat saat diketahui skor keterampilan berpikir kritis sebesar $6,\!5$ adalah $\boxed{5,\!5599}.$

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan nilai ulangan tengah semester, sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan nilai ujian akhir semester.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet UTS dan UAS).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 707 & \sum y = 658 \\ \sum x^2 = 57.557 & \sum y^2 = 51.980 \\ \sum xy = 53.258 & n = 9. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 53.258-\dfrac{707 \cdot 658}{9} \approx 1.568,\!4444 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} =57.557-\dfrac{(707)^2}{9} \approx 2.018,\!2222 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{1.568,\!4444}{2.018,\!2222} \\ & \approx 0,\!7771 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{658-0,\!7771 \cdot 707}{9} \\ & \approx 12,\!0656. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = 12,\!0656+0,\!7771x}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_0 = 12,\!0656$ dan $\alpha = (100-10)\% = 0,\!1.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} &= \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n} = 57.557-\dfrac{(658)^2}{9} \approx 3.872,\!8889 \\ s_e & = \sqrt{\dfrac{JK_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{3.872,\!8889-0,\!7771 \cdot 1.568,\!4444}{9-2}} \\ & \approx 19,\!4718. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus penaksiran parameter $\beta_0.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2 = 9-2=7$ adalah $t_{0,05; 7} \approx 1,\!895.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} b_0-t_{\alpha/2;~\text{dk}} s_e \sqrt{\displaystyle \sum x^2/(n \cdot \text{JK}_{XX})} & < & \beta_0 & < & b_0+t_{\alpha/2;~\text{dk}} s_e \sqrt{\displaystyle \sum x^2/(n \cdot \text{JK}_{XX})} \\ 12,\!0656-1,\!895(19,\!4718)\sqrt{707/(9 \cdot 2.018,\!2222)} & < & \beta_0 & < & 12,\!0656+1,\!895(19,\!4718)\sqrt{707/(9 \cdot 2.018,\!2222)} \\ 4,\!7858 & < & \beta_0 & < & 19,3454. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk parameter $\beta_0$ adalah $4,\!7858 < \beta_0 < 19,3454.$
Jawaban c)
Diketahui $b_1 = 0,\!7771,$ $\alpha = (100-95)\% = 0,\!05,$ dan $s_e = 379,\!1501.$ Ini merupakan kasus penaksiran parameter $\beta_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2 = 9-2=7$ adalah $t_{0,025; 7} \approx 2,\!365.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} b_1-t_{\alpha/2;~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_e}{\sqrt{\text{JK}_{XX}}} & < & \beta_1 & < & b_1-t_{\alpha/2;~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_e}{\sqrt{\text{JK}_{XX}}} \\ 0,\!7771-2,\!365 \cdot \dfrac{19,\!4718}{\sqrt{2.018,\!2222}} & < & \beta_1 & < & 0,\!7771+2,\!365 \cdot \dfrac{19,\!4718}{\sqrt{2.018,\!2222}} \\ -0,\!2480 & < & \beta_1 & < & 1,\!8022. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk parameter $\beta_1$ adalah $-0,\!2480 < \beta_1 < 1,\!8022.$
Jawaban d)
Diketahui $s_e^2 \approx 379,\!1501.$ Ini merupakan kasus uji kebaikan model regresi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Rumusan hipotesis:
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \text{Model regresi tidak memadai}. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \text{Model regresi memadai}. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{s_e^2} = \dfrac{0,\!7771 \cdot 1.568,\!4444}{379,\!1501} \approx 3,\!2147$$Daerah kritis:
Dengan menggunakan tabel-$F,$ nilai-$f$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = 1$ dan $\text{dk}_2 = n-2 = 9-2=7$ adalah $f_{\text{tabel}} = t_{0,05;~1;~7} \approx 5,\!59.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f > 5,\!59.$
Keputusan:
Karena $$f_{\text{hitung}} = 3,\!2147 < 5,\!59 = f_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti belum cukup untuk mengatakan bahwa model regresi memadai.
Jawaban e)
Untuk $x = 85,$ diperoleh nilai $$\hat{y} = 12,\!0656 + 0,\!7771 \cdot 85 = 78,\!1191.$$Jadi, taksiran nilai ujian trigonometri yang didapat saat diketahui nilai tengah semester sebesar $85$ adalah $\boxed{78,\!1191}.$

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan suhu (dalam derajat Celsius), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan banyaknya komponen kimia yang terurai dalam $100$ gram air.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Komponen Kimia).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 675 & \sum y = 488 \\ \sum x^2 = 37.125 & \sum y^2 =17.142 \\ \sum xy = 25.005 & n = 18. \\ \hline \end{array}$$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 25.005-\dfrac{675 \cdot 488}{18} = 6.705 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} =37.125-\dfrac{(675)^2}{18} = 11.812,\!5 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{ 6.705}{11.812,\!5 } \\ & \approx 0,\!5676 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{488-0,\!5676 \cdot 675}{18} \\ & \approx 5,\!8261. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = 5,\!8261 +0,\!5676 x}.$
Jawaban b)
Untuk menentukan koefisien korelasi, nilai $\text{JK}_{YY}$ perlu dicari terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} &= \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n} =17.142-\dfrac{(488)^2}{18} \approx 3.911,\!7778. \end{aligned}$$Dengan demikian, koefisien korelasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} r_{XY} & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\sqrt{\text{JK}_{XX} \cdot \text{JK}_{YY}}} \\ & = \dfrac{6.705}{\sqrt{11.812,\!5 \cdot 3.911,\!7778}} \\ & \approx 0,\!9864. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien korelasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa hubungan variabel prediktor $X$ dan variabel respons $Y$ sangat erat dan bersifat searah.
Jawaban c)
Karena $\text{JK}_{YY} = 3.911,\!7778,$ $b_1 = 0,\!5676,$ dan $\text{JK}_{XY} = 6.705,$ diperoleh
$$\begin{aligned} s_e^2 & = \dfrac{\text{JK}_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2} \\ & = \dfrac{3.911,\!7778-0,\!5676 \cdot 6.705}{18-2} \\ & \approx 6,\!6262. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus uji kebaikan model regresi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Rumusan hipotesis:
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \text{Model regresi tidak memadai}. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \text{Model regresi memadai}. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{s_e^2} = \dfrac{0,\!5676 \cdot 6.705}{6,\!6262} \approx 574,\!35$$Daerah kritis:
Dengan menggunakan tabel-$F,$ nilai-$f$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = 1$ dan $\text{dk}_2 = n-2 = 18-2=16$ adalah $f_{\text{tabel}} = t_{0,05;~1;~16} \approx 4,\!49.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f > 4,\!49.$
Keputusan:
Karena $$f_{\text{hitung}} = 574,\!35 > 4,\!49 = f_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti sudah cukup untuk mengatakan bahwa model regresi memadai.
Jawaban d)
Untuk $x = 50,$ diperoleh nilai $$\hat{y} =5,\!8261 +0,\!5676 \cdot 50 = 34,\!2061.$$Jadi, taksiran banyaknya komponen kimia yang akan terurai dalam $100$ gram air pada suhu $50^\circ\text{C}$ adalah $\boxed{34,\!2061}$ gram.

Misalkan $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan lamanya waktu belajar (dalam jam) dan nilai UTS.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Waktu Belajar).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 117 & \sum y = 660 \\ \sum x^2 = 1.869 & \sum y^2 = 54.638 \\ \sum xy = 9.519 & n = 8. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 9.519-\dfrac{117 \cdot 660}{8} = -133,\!5 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} =1.869-\dfrac{(117)^2}{8} = 157,\!875 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{-133,\!5}{157,\!875} \\ & \approx -0,\!8456 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{660-(-0,\!8456)(117)}{8} \\ & = 94,\!8669. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = 94,\!8669-0,\!8456x}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_0 = 94,\!8669,$ $B_1 = 0,$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} &= \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n} = 54.638-\dfrac{(660)^2}{8} = 188 \\ s_e & = \sqrt{\dfrac{\text{JK}_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{188-94,\!8669 \cdot (-133,\!5)}{8-2}} \\ & \approx 46,\!2831. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus uji koefisien regresi untuk $\beta_0.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\beta_0.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \beta_0 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \beta_0 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{b_0-B_0}{s_e \sqrt{\sum x^2 / (n \cdot \text{JK}_{XX})}} = \dfrac{94,\!8669-0}{46,\!2831 \sqrt{1.869/(8 \cdot 157,\!875)}} \approx 53,\!2831.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2=8-2=6$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025;~ 6} \approx 2,\!447.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!447$ dan $t > 2,\!447.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 53,\!2831 > 2,\!447 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, konstanta dari persamaan regresi tidak dapat diabaikan.
Jawaban c)
Koefisien korelasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} r_{XY} & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\sqrt{\text{JK}_{XX} \cdot \text{JK}_{YY}}} \\ & = \dfrac{-133,\!5}{\sqrt{157,\!875 \cdot 188}} \\ & = -0,\!7749. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien korelasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa hubungan variabel prediktor $X$ dan variabel respons $Y$ cukup erat dan bersifat berlawanan arah.
Jawaban d)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} R^2 & = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{YY}} \\ & = \dfrac{(-0,\!8456)(-133,\!5)}{188} \\ & \approx 0,\!6005. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $60,\!05\%.$  
Jawaban e)
Untuk $x = 15,$ diperoleh nilai $$\hat{y} =94,\!8669 -0,\!8456 \cdot 15 = 82,\!1829.$$Jadi, taksiran nilai UTS yang dihasilkan jika waktu belajar yang diluangkan mahasiswa selama $15$ jam adalah $\boxed{82,\!1829}.$ 

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan besarnya curah hujan harian (dalam $0,\!01$ cm), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jumlah zarah (partikel, dalam mikrogram per m³) kotoran udara yang terbawa hujan.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Zarah).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 45 & \sum y = 1.094 \\ \sum x^2 = 244,\!26 & \sum y^2 = 133.786 \\ \sum xy = 5.348,\!2 & n = 9. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 5,348,\!2-\dfrac{45 \cdot 1.094}{9} = -121,\!8 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} = 244,\!26-\dfrac{(45)^2}{9} = 19,\!26 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{-121,\!8}{19,\!26} \\ & \approx -6,\!3240 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{1.094-(-6,\!3240)(45)}{9} \\ & \approx 153,\!1756. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = 153,\!1756-6,\!3240x}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_1 = -6,\!3240,$ $B_1 = 0,$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} &= \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n}  = 133.786-\dfrac{(1.094)^2}{9} \approx 804,\!2222 \\ s_e & = \sqrt{\dfrac{JK_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{804,\!2222-(-6,\!3240)(-121,\!8)}{9-2}} \\ & \approx 2,\!2026. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus uji koefisien regresi untuk $\beta_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\beta_1.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \beta_1 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \beta_1 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{b_1-B_1}{s_e/\sqrt{\text{JK}_{XX}}} = \dfrac{ -6,\!3240-0}{2,\!2026/\sqrt{19,\!26}} \approx -12,\!6004.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2=9-2=7$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025;~ 7} \approx 2,\!365.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!365$ dan $t > 2,\!365.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 12,\!6004 > 2,\!365 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, koefisien dari variabel prediktor tidak dapat diabaikan.
Jawaban c)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} R^2 & = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{YY}} \\ & = \dfrac{(-6,\!3240)(-121,\!8)}{804,\!2222} \\ & \approx 0,\!9578. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $95,\!78\%.$
Jawaban d)
Untuk $x = 4,\!8,$ diperoleh nilai $$\hat{y} =153,\!1756-6,\!3240 \cdot 4,\!8 = 122,\!8204.$$Jadi, taksiran banyaknya zarah yang terbawa hujan jika besarnya curah hujan harian sama dengan $0,\!048$ cm adalah $\boxed{122,\!8204}$ mikrogram per m³.

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan dosis senyawa organofosfat (dalam mg/kgBB), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan ukuran aktivitas otak.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Organofosfat).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 28,\!8 & \sum y = 107,\!4 \\ \sum x^2 = 87,\!04 & \sum y^2 = 1.157,\!6 \\ \sum xy = 313,\!27 & n = 10. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 313,\!27-\dfrac{28,\!8 \cdot 107,\!4}{10} = 3,\!958 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} = 87,\!04-\dfrac{(28,\!8)^2}{10} = 4,\!096 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{3,\!958}{4,\!096} \\ & \approx 0,\!9663 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{107,\!4-0,\!9663 \cdot 28,\!8}{10} \\ & \approx 7,\!9571. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = 7,\!9571+0,\!9663x}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_0 = 7,\!9571,$ $B_1 = 0,$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} &= \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n} = 1.157,\!6-\dfrac{(107,\!4)^2}{10} = 4,\!124 \\ s_e & = \sqrt{\dfrac{\text{JK}_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{4,\!124-0,\!9663 \cdot 3,\!958)}{10-2}} \\ & \approx 0,\!1935. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus uji koefisien regresi untuk $\beta_0.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\beta_0.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \beta_0 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \beta_0 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{b_0-B_0}{s_e \sqrt{\sum x^2 / (n \cdot \text{JK}_{XX})}} = \dfrac{7,\!9571-0}{0,\!1935 \sqrt{87,\!04/(10 \cdot 4,\!096)}} \approx 28,\!2094.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2=10-2=8$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025;~ 8} \approx 2,\!306.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!306$ dan $t > 2,\!306.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 28,\!2094 > 2,\!306 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, konstanta dari persamaan regresi tidak dapat diabaikan.
Jawaban c)
Diketahui $b_1 = 0,\!9663,$ $\alpha = (100-90)\% = 0,\!1,$ dan $s_e = 0,\!1935.$ Ini merupakan kasus penaksiran parameter $\beta_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2 = 10-2=8$ adalah $t_{0,05; 8} \approx 1,\!86.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} b_1-t_{\alpha/2;~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_e}{\sqrt{\text{JK}_{XX}}} & < & \beta_1 & < & b_1-t_{\alpha/2;~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_e}{\sqrt{\text{JK}_{XX}}} \\ 0,\!9663-1,\!86 \cdot \dfrac{0,\!1935}{\sqrt{4,\!096}} & < & \beta_1 & < & 0,\!9663+1,\!86 \cdot \dfrac{0,\!1935}{\sqrt{4,\!096}} \\ 0,\!7885 & < & \beta_1 & < & 1,\!1441. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk parameter $\beta_1$ (koefisien dosis) adalah $0,\!7885 < \beta_1 < 1,\!1441.$
Jawaban d)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} R^2 & = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{YY}} \\ & = \dfrac{0,\!9663 \cdot 3,\!958}{4,\!124} \\ & \approx 0,\!9274. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $92,\!74\%.$

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan berat batu bara padat (dalam kg), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume gas batu bara yang dihasilkan (dalam m³).
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Batu Bara).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 26,\!06 & \sum y = 25,\!68 \\ \sum x^2 = 85,\!6104 & \sum y^2 = 83,\!381 \\ \sum xy = 84,\!463 & n = 8. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 84,\!463-\dfrac{26,\!06 \cdot 25,\!68}{8} = 0,\!8104 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} =85,\!6104-\dfrac{(26,\!06)^2}{8} \approx 0,\!72 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{0,\!8104}{0,\!72} \\ & \approx 1,\!1256 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{25,\!68-1,\!1256 \cdot 26,\!06}{8} \\ & = -0,\!4566. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = -0,\!4566+1,\!1256x}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_1 = 1,\!1256$ dan $\alpha = (100-90)\% = 0,\!1.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} &= \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n} = 83,\!381-\dfrac{(26,\!06)^2}{8} = 0,\!9482 \\ s_e & = \sqrt{\dfrac{\text{JK}_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{0,\!9482-1,\!1256 \cdot 0,\!8104}{8-2}} \\ & \approx 0,\!5568. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus penaksiran parameter $\beta_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2 = 9-2=7$ adalah $t_{0,05; 7} \approx 1,\!895.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} b_1-t_{\alpha/2;~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_e}{\sqrt{\text{JK}_{XX}}} & < & \beta_1 & < & b_1-t_{\alpha/2;~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_e}{\sqrt{\text{JK}_{XX}}} \\ 1,\!1256-1,\!895 \cdot \dfrac{0,\!5568}{\sqrt{0,\!72}} & < & \beta_1 & < & 1,\!1256+1,\!895 \cdot \dfrac{0,\!5568}{\sqrt{0,\!72}} \\ -0,\!1179 & < & \beta_1 & < & 2,\!3691. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk parameter $\beta_1$ adalah $-0,\!1179 < \beta_1 < 2,\!3691.$
Jawaban c)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} R^2 & = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{YY}} \\ & = \dfrac{1,\!1256 \cdot 0,\!8104}{0,\!9482} \\ & \approx 0,\!9620. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $96,\!2\%.$
Jawaban d)
Untuk $\hat{y} = 3,\!51,$ diperoleh $$3,\!51 =-0,\!4566+1,\!1256x$$sehingga didapat $x \approx 3,\!524.$ Jadi, berat batu bara padat yang diperlukan adalah $\boxed{3,\!524}$ kg.

Misalkan $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan biaya iklan mingguan dengan omzet penjualan (keduanya dalam ribuan rupiah).
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Iklan).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 410 & \sum y = 5.445 \\ \sum x^2 = 15.650 & \sum y^2 = 2.512.925 \\ \sum xy = 191.325 & n = 12. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 191.325-\dfrac{410 \cdot 5.445}{12} = 5.287,\!5 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} =15.650-\dfrac{(410)^2}{12} \approx 1.641,\!6667 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{5.287,\!5}{1.641,\!6667} \\ & \approx 3,\!2208 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{5.445-3,\!2208 \cdot 410}{12} \\ & = 343,\!706. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = 343,\!706+3,\!2208x}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_1 = 3,\!2208,$ $B_1 = 0,$ dan $\alpha = 10\% = 0,\!1.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} &= \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n}  = 2.512.925-\dfrac{(5.445)^2}{12} \approx 42.256,\!25 \\ s_e & = \sqrt{\dfrac{JK_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{42.256,\!25-3,\!2208 \cdot 5.287,\!5}{12-2}} \\ & \approx 50,\!2258. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus uji koefisien regresi untuk $\beta_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\beta_1.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \beta_1 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \beta_1 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{b_1-B_1}{s_e/\sqrt{\text{JK}_{XX}}} = \dfrac{3,\!2208-0}{50,\!2258/\sqrt{1.641,\!6667}} \approx 2,\!5982.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2=12-2=10$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,05;~ 10} \approx 1,\!812.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -1,\!812$ dan $t > 1,\!812.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 2,\!5982 > 1,\!812 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, koefisien dari gradien garis regresi tidak dapat diabaikan.
Jawaban c)
Koefisien korelasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} r_{XY} & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\sqrt{\text{JK}_{XX} \cdot \text{JK}_{YY}}} \\ & = \dfrac{5.287,\!5}{\sqrt{1.641,\!6667 \cdot 42.256,\!25}} \\ & \approx 0,\!6348. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien korelasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa hubungan variabel prediktor $X$ dan variabel respons $Y$ cukup erat dan bersifat searah.
Jawaban d)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} R^2 & = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{YY}} \\ & = \dfrac{3,\!2208 \cdot 5.287,\!5}{42.256,\!25} \\ &\approx 0,\!403. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $40,\!3\%.$  

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan tinggi badan (dalam cm), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan berat badan (dalam kg).
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Tinggi dan Berat).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 1.724 & \sum y = 745 \\ \sum x^2 = 270.796 & \sum y^2 = 51.108,\!52. \\ \sum xy = 117.305,\!4 & n = 11. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 117.305,\!4-\dfrac{1.724 \cdot 745}{11} \approx 543,\!5818 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} =270.796-\dfrac{(1.724)^2}{11} \approx 598,\!1818\end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{543,\!5818}{598,\!1818} \\ & \approx 0,\!0987 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{745-0,\!0987 \cdot 41.724}{11} \\ & \approx 52,\!2583. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = 52,\!2583+0,\!0987x}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_1 = 0,\!0987$ dan $\alpha = (100-90)\% = 0,\!1.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} &= \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n}  = 51.108,\!52-\dfrac{(745)^2}{11} \approx 651,\!7018 \\ s_e & = \sqrt{\dfrac{JK_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{651,\!7018-0,\!0987 \cdot 543,\!5818}{11-2}} \\ & \approx 8,\!1517. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus penaksiran parameter $\beta_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2 = 11-2=9$ adalah $t_{0,05; 9} \approx 1,\!833.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} b_1-t_{\alpha/2;~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_e}{\sqrt{\text{JK}_{XX}}} & < & \beta_1 & < & b_1-t_{\alpha/2;~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_e}{\sqrt{\text{JK}_{XX}}} \\ 0,\!0987-1,\!833 \cdot \dfrac{8,\!1517}{\sqrt{598,\!1818}} & < & \beta_1 & < & 0,\!0987+1,\!833 \cdot \dfrac{8,\!1517}{\sqrt{598,\!1818}} \\ -0,\!5122 & < & \beta_1 & < & 0,\!7096. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk parameter $\beta_1$ adalah $ -0,\!5122 < \beta_1 < 0,\!7096.$
Jawaban c)
Koefisien korelasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} r_{XY} & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\sqrt{\text{JK}_{XX} \cdot \text{JK}_{YY}}} \\ & = \dfrac{543,\!5818}{\sqrt{598,\!1818 \cdot 651,\!7018}} \\ & \approx 0,\!8706. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien korelasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa hubungan variabel prediktor $X$ dan variabel respons $Y$ sangat erat dan bersifat searah.
Jawaban d)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} s_e & = \sqrt{\dfrac{JK_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2}} \\ & = \dfrac{651,\!7018-0,\!0987 \cdot 543,\!5818}{11-2} \\ & \approx 66,\!45. \end{aligned}$$Ini merupakan kasus uji kebaikan model regresi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Rumusan hipotesis:
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \text{Model regresi tidak memadai}. \\ \text{Hipotesis Alternatif} & H_1: \text{Model regresi memadai}. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{s_e^2} = \dfrac{0,\!0987 \cdot 543,\!5818}{66,\!45} \approx 0,\!8074$$Daerah kritis:
Dengan menggunakan tabel-$F,$ nilai-$f$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = 1$ dan $\text{dk}_2 = n-2 = 11-2=9$ adalah $f_{\text{tabel}} = t_{0,05;~1;~9} \approx 5,\!12.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f > 5,\!12.$
Keputusan:
Karena $$f_{\text{hitung}} = 0,\!8074 < 5,\!12 = f_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti belum cukup untuk mengatakan bahwa model regresi memadai.

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan lamanya pengalaman kerja pegawai (dalam tahun), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya HP yang terjual.
Jawaban a)
Diagram pencar dari data di atas dapat dilihat pada gambar berikut.
Jawaban b)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y} = b_0 + b_1x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Pengalaman Kerja).
$$\begin{array}{cc} \hline \sum x = 48 & \sum y = 375 \\ \sum x^2 = 48 & \sum y^2 = 18.825 \\ \sum xy = 930 & n = 8. \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{JK}_{XY} & = \sum xy-\dfrac{\sum x \sum y}{n} = 930-\dfrac{18 \cdot 375}{8} = 86,\!25 \\ \text{JK}_{XX} & = \sum x^2-\dfrac{(\sum x)^2}{n} = 48-\dfrac{(18)^2}{8} = 7,\!5 \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} b_1 & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\text{JK}_{XX}} = \dfrac{86,\!25}{7,\!5} \approx 1,\!5 \\ b_0 & = \dfrac{\sum y-b_1\sum x}{n} \\ & = \dfrac{375-1,\!5 \cdot 18}{8} \\ & = 21. \end{aligned}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{\hat{y} = 21 + 11,\!5x}.$
Jawaban c)
Diketahui $b_1 = 3,\!2208,$ $B_1 = 0,$ dan $\alpha = 10\% = 0,\!1.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{aligned} \text{JK}_{YY} & = \sum y^2-\dfrac{(\sum y)^2}{n} = 18.825-\dfrac{(375)^2}{8} = 1.246,\!875 \\ s_e^2 & = \dfrac{JK_{YY}-b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{n-2} \\ & = \sqrt{\dfrac{1.246,\!875-11,\!5 \cdot 86,\!25}{8-2}} \\ & = 42,\!5. \end{aligned}$$kasus uji kebaikan model regresi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Rumusan hipotesis:
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \text{Model regresi tidak memadai}. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \text{Model regresi memadai}. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{b_1 \cdot \text{JK}_{XY}}{s_e^2} = \dfrac{11,\!5 \cdot 86,\!25}{42,\!5} \approx 23,\!3382$$Daerah kritis:
Dengan menggunakan tabel-$F,$ nilai-$f$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = 1$ dan $\text{dk}_2 = n-2 = 8-2=6$ adalah $f_{\text{tabel}} = t_{0,05;~1;~6} \approx 5,\!99.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f > 5,\!99.$
Keputusan:
Karena $$f_{\text{hitung}} = 23,\!3382 > 5,\!99 = f_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti sudah cukup untuk mengatakan bahwa model regresi tersebut memadai.
Jawaban d)
Koefisien korelasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{aligned} r_{XY} & = \dfrac{\text{JK}_{XY}}{\sqrt{\text{JK}_{XX} \cdot \text{JK}_{YY}}} \\ & = \dfrac{86,\!25}{\sqrt{7,\!5 \cdot 1.246,\!875}} \\ & \approx 0,\!8919. \end{aligned}$$Dari nilai koefisien korelasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa hubungan variabel prediktor $X$ dan variabel respons $Y$ sangat erat dan bersifat searah.
Jawaban e)
Diketahui $b_1 = 1,\!5,$ $B_1 = 0,$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, telah ditemukan nilai $\text{JK}_{YY} = 1.246,\!875$ dan $s_e = \sqrt{42,\!5}.$ Untuk menguji ada tidaknya pengaruh dari variabel prediktor terhadap variabel respons, akan dilakukan uji koefisien regresi untuk $\beta_1.$ Dalam konteks ini, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\beta_1.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \beta_1 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \beta_1 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{b_1-B_1}{s_e/\sqrt{\text{JK}_{XX}}} = \dfrac{1,\!5-0}{\sqrt{42,\!5}/\sqrt{7,\!5}} \approx 0,\!6301.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-2=8-2=6$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025;~ 6} \approx 2,\!447.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!447$ dan $t > 2,\!447.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 0,\!6301 < 2,\!447 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk mengatakan bahwa lamanya pengalaman kerja pegawai perusahaan tersebut memengaruhi banyaknya HP yang terjual secara signifikan.